چگونه رادیکال ۲ یک عدد شد؟

اگرچه اعداد گنگ کانتور در ابتدا متفاوت از اعداد گنگ ددکیند به‌نظر می‌رسید، کار بعدی ثابت کرد آن‌ها از نظر ریاضی معادل هستند.

مطالعات کانتور باعث شد به این سوال برسد که چند عدد وجود دارد. این سوال ممکن است در ابتدا عجیب به نظر برسد.

تعداد بی نهایتی از اعداد حسابی وجود دارد و همیشه می‌توانید به توالی این اعداد، عدد دیگری اضافه کنید. اما کانتور نشان داد گرچه تعداد کسرها با تعداد اعداد صحیح برابر است، می‌توان ثابت کرد اعداد گنگ بیشتری وجود دارد. او اولین فردی بود که متوجه شد «بی‌نهایت» می‌تواند اندازه‌های مختلفی داشته باشد.

محور اعداد شلوغ‌تر و عجیب‌تر از قبل به‌نظر می‌رسید، اما ریاضیدانان پس از تغییر دیدگاه توانستند آن را درک کنند.

برش‌های ددکیند مسلما آغاز ریاضیات مدرن است. یان استوارت، ریاضیدان دانشگاه واریک می‌گوید: «این اولین نقطه در تاریخ ریاضیات است که در آن ریاضیدانان واقعا می‌دانند درمورد چه چیزی صحبت می‌کنند.»

ددکیند و دیگران از تعریف خود او برای اثبات قضایای اصلی حسابان برای اولین بار استفاده کردند که به آن‌ها امکان داد نه‌تنها ساختاری را که لایبنیتس و نیوتن ایجاد کرده بودند، تقویت، بلکه آن را غنی‌تر کنند. کار ددکیند، به ریاضیدانان کمک کرد دنباله‌ها و توابع را بهتر درک کنند.

تعریف رسمی رادیکال ۲ افق‌های جدیدی را برای کاوشی فراتر از موضوعاتی در حسابان باز کرد که در آغاز ددکیند روی آن‌ها کار می‌کرد. همان‌طور که استوارت می‌گوید: «بعد از ددکیند، ریاضیدانان متوجه شدند می‌توانند مفاهیم کاملا جدیدی را ابداع کنند.»